Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，且經過點，它的一個焦點與拋物線E：的焦點重合，斜率為k的直線l交拋物線E于A、B兩點，交橢圓于C、D兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線l經過點，設點，且的面積為，求k的值；

（3）若直線l過點，設直線，的斜率分別為，，且，，成等差數列，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）由題知得到，解方程組即可.

（2）設直線：，由得：.利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到，解方程即可.

（3）設直線：，帶入橢圓方程得到.根據韋達定理和等差中項的性質得到，解方程即可求出直線方程.

（1）設橢圓的方程為，

由題設得，∴.

∴橢圓的方程是.

（2）設直線：，設，，

由得：.

，.

與拋物線有兩個交點，，，

則.

到的距離，

又，所以.

，故.

（3）設直線：，設，，

由消去得：.

因為在橢圓內部，所以與橢圓恒有兩個交點,

所以.

由，，成等差數列得.

.

所以解得：.

所以直線的方程為.