Question

一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得渠周長l＝AB＋BC＋CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：由梯形面積公式，得S＝(AD＋BC)h，

　　其中AD＝2DE＋BC，DE＝h，BC＝b，

　　∴AD＝h＋b．

　　∴S＝(h＋2b)h＝(h＋b)h　　①

　　∵CD＝，AB＝CD，

　　∴l＝h×2＋b　　②

　　由①得b＝，代入②，∴l＝．

　　令＝＝0，∴h＝．當h＜時，＜0，h＞時，＞0．

　　∴h＝時，l取最小值，此時b＝．

　　思路解析：利用梯形的幾何性質，建立渠周長l的目標函數，最后利用導數求解．