Question

一條水渠的斷面為等腰梯形(如圖所示),在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小且這樣可使水流阻力小且滲透少，求此時的高h和下底邊長b.

Answer 1

解：由梯形面積公式，得S=(AD+BC)h,

其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b.

∴AD=h+b.

∴S=(h+2b)h=(h+b)h.                                 ①

∵CD=h,AB=CD,

∴l=h×2+b.                                                              ②

由①得b=,代入②,

∴l=h+h=h+.

∵l′=-=0,∴h=.

當h＜時，l′＜0;當h＞時，l′＞0.

∴當h=時，l取最小值，此時b=.