Question

設直線l₁y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩個不同的點，與X軸相交于F．
（Ⅰ）證明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若橢圓的離心率為

3

2

，O是坐標的原點，求

OA

•

OB

的范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）把y=x+1代入橢圓方程中，消去x，得關于y一元二次方程，由題意△＞0，證出a²+b²＞1；
（Ⅱ）設出A、B的坐標，表示出

OA

•

OB

，利用橢圓的離心率以及（Ⅰ）的結論，求出

OA

•

OB

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）證明：將y=x+1代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，
消去x，得（a²+b²）y²-2b²y+b²（1-a²）=0…①
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得；
△=4b⁴-4b²（a²+b²）（1-a²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0，
∴a²+b²＞1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得y₁+y₂=

2b2

a2+b2

，y₁y₂=

b2(1-a2)

a2+b2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=（y₁-1）（y₂-1）+y₁y₂
=2y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=

2b2(1-a2)

a2+b2

-

2b2

a2+b2

+1
=

-2a2b2

a2+b2

+1；
∵橢圓的離心率e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a，b²=a²-

3

4

a²=

1

4

a²；
代入上式，得；

OA

•

OB

=

-2×a2× 1 4 a2

a2+ 1 4 a2

+1=-

2

5

a²+1，
∵a²+b²=

5

4

a²＞1，∴a²＞

4

5

；
∴-

2

5

a²+1＜-

2

5

×

4

5

+1=

17

25

，
∴

OA

•

OB

的范圍（-∞，

17

25

）．

點評：本題考查了向量與橢圓的綜合應用問題，也考查了直線與橢圓的應用問題，考查了根與系數的關系與應用問題，是綜合題目．