Question

10．已知函數f（x）是R上的奇函數，對于?x∈（0，+∞），都有f（x+2）=-f（x）且x∈（0，1]時f（x）=2^x+1，則f（-2014）+f（2015）的值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． -3

Answer 1

分析 根據條件求出當x＞0時，函數的周期是4，結合函數周期性和奇偶性的性質進行轉化進行求解即可．

解答 解：對于?x∈（0，+∞），由f（x+2）=-f（x）得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則函數的周期是4（x＞0），
∵函數f（x）是R上的奇函數，
∴f（0）=0，
則f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=-f（1）=-（2+1）=-3，
f（-2014）=-f（2014）=-f（503×4+）=-f（2）=-[-f（0）]=f（0）=0，
則f（-2014）+f（2015）=-3+0=-3，
故選：D．

點評 本題主要考查函數值的計算，根據條件求出當x＞0時函數的周期是4，結合函數周期性和奇偶性進行轉化求解是解決本題的關鍵．