Question

【題目】如圖，EA平面ABC，DC∥EA，EA＝2DC，F是EB的中點.

（1）求證：DC平面ABC；

（2）求證：DF∥平面ABC.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據線面垂直的性質與判定定理即可證明；

（2）取AB中點M，連結CM，FM，證明四邊形DCMF為平行四邊形，由此根據線面平行的判定定理即可證明．

證明：（1）∵EA⊥平面ABC，AB，AC平面ABC，

∴EA⊥AB，EA⊥AC，

又DC∥EA，

∴DC⊥AB，DC⊥AC，

∵ABAC＝A，AB、AC平面ABC，

∴DC⊥平面ABC；

（2）取AB中點M，連結CM，FM，

在△ABE中，F，M分別為EB，AB中點，

FM∥EA，且EA＝2FM．

又DC∥EA且EA＝2DC，

于是DC∥FM，且DC＝FM，

∴四邊形DCMF為平行四邊形，

則DF∥CM，CM平面ABC，DF平面ABC，

∴DF∥平面ABC．