Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，且，是橢圓上一點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線別與軸交于點(diǎn)，求證：在軸上存在點(diǎn)，使得無(wú)論非零實(shí)數(shù)怎樣變化，以 為直徑的圓都必過(guò)點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析，點(diǎn)P坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）依題意得，解出即可；

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)，，，則，

聯(lián)立直線與橢圓方程求得點(diǎn)，進(jìn)而求出直線的方程，由此可得，同理可得，由此可得，解出即可得出結(jié)論．

（1）解：依題意，解得，

∴橢圓方程為；

（2）證：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)，，，則，

聯(lián)立，消去，得，

解得，，即，

∵，

∴直線的斜率，

∴直線的方程為，

可得，

同理可得，

∴，，

則，解得或，

∴存在點(diǎn)且坐標(biāo)為或，使得無(wú)論非零實(shí)數(shù)怎么變化，以為直徑的圓都必過(guò)點(diǎn)．