Question

【題目】在數列{an}，{bn}中，an＝bn+n，bn＝﹣an+1.

（1）證明：數列{an+3bn}是等差數列.

（2）求數列的前n項和Sn.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）Sn

【解析】

（1）可將bn＝﹣an+1代入an＝bn+n計算可得數列{an}的通項公式，然后根據bn＝﹣an+1可得數列{bn}的通項公式，即可計算出數列{an+3bn}的通項公式，再根據等差數列的定義法可證明數列{an+3bn}是等差數列；

（2）先根據（1）的結果計算出數列的通項公式，然后根據通項公式的特點可采用錯位相減法計算出前n項和Sn.

（1）證明：由題意，將bn＝﹣an+1代入an＝bn+n，可得

an＝bn+n＝﹣an+1+n，即2an＝n+1，

∴an，n∈N*，

∴bn＝﹣an+11，n∈N*，

∴an+3bn32﹣n，

∵（an+1+3bn+1）﹣（an+3bn）＝2﹣（n+1）﹣（2﹣n）＝﹣1，

∴數列{an+3bn}是以﹣1為公差的等差數列.

（2）由（1）知，，

則Sn，

∴Sn，

兩式相減，可得

Sn

（）

，

∴Sn.