Question

從圓 （x-1）²+（y-1）²=1外一點P（2，3）向這個圓引切線
（Ⅰ）求切線的方程；
（Ⅱ）求切線的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切線的斜率存在時，設出切線的方程，進而利用點到直線的距離求得圓心到切線的距離，從而求得k，切線的方程可得；切線的斜率不存在時，切線方程可得；
（Ⅱ）根據圓的標準方程得到圓心C的坐標和圓的半徑，然后利用兩點間的距離公式求出|PC|的平方，然后根據圓的切線垂直于過切點的直徑得到切線長、圓的半徑及|PC|構成直角三角形，根據勾股定理即可求出切線長．

解答：解：（Ⅰ）①若切線的斜率存在，可設切線的方程為y-3=k（x-2）即kx-y-2k+3=0
則圓心到切線的距離d=

|k-1-2k+3|

k2+1

=1，∴k=

3

4

，故切線的方程為3x-4y+6=0
②若切線的斜率不存在，切線方程為x=2，此時直線也與圓相切．
綜上所述，過P點的切線的方程為：3x-4y+6=0和x=2；
（Ⅱ）記圓心為點C，圓心C為（1，1），則|PC|²=（2-1）²+（3-1）²=5，
利用兩點間的距離公式得|PC|²=（2-1）²+（3-1）²=5，
∴根據勾股定理得切線長=

5-1

=2．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置的關系，點到直線的距離公式．考查了學生數形結合的思想的運用和基本的運算能力．