Question

已知二項式（

x

-

2

3 x

）ⁿ展開式的第五項的系數與第三項的系數的比為30：1．
（1）展開式的所有有理項；
（2）n+6C_n²+36C_n³+…+6^n-1C_nⁿ；
（3）系數的絕對值最大的項（結果可以有組合數、冪）

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：計算題,二項式定理

分析：（1）求出二項式的通項公式，并化簡，由條件，列方程求得n=12，再化簡通項，考慮x的指數為整數的情況，即可得到有理項；
（2）逆用二項式定理，注意添上首項1，即可得到所求值；
（3）根據最大的系數絕對值大于等于其前一個系數絕對值；同時大于等于其后一個系數絕對值；列出不等式求出系數絕對值最大的項．

解答： 解：（1）二項式（

x

-

2

3 x

）ⁿ展開式的通項公式為T_r+1=

C

r n

(

x

)n-r(

-2

3 x

)r（r=0，1，…，n）
=

C

r n

(-2)r•x

3n-5r

6

，
由于展開式的第五項的系數與第三項的系數的比為30：1，則

C

4 n

•24：

C

2 n

•22=30：1，
化簡得，n²-5n=84=0，解得，n=12（-7舍去）．
則展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 12

(-2)r•x

36-5r

6

（r=0，1，2，…，12），
當r=0，6，12時為有理項，
即為T₁=x⁶，T₇=

C

6 12

•26•x=59136x，T₁₃=

C

12 12

•212•x-4=4096x^-4；
（2）n+6C_n²+36C_n³+…+6^n-1C_nⁿ=

C

1 12

+6C₁₂²+36C₁₂³+…+6^12-1C1212
=

1

6

（1+6

C

1 12

+6²C₁₂²+6³C₁₂³+…+6^12C₁₂12）-

1

6

=

1

6

•（1+6）¹²-

1

6

=

712-1

6

；
（3）設第r+1項的系數的絕對值最大，
因為T_r+1=

C

r 12

(-2)r•x

36-5r

6

（r=0，1，2，…，12），
則

C r 12 2r ≥C r-1 12 2r-1 C r 12 2r ≥C r+1 12 •2r+1

即

2C r 12 ≥C r-1 12 C r 12 ≥ 2C r+1 12

即有

26-2r≥r 24-2r≤1+r

即

23

3

≤r≤

26

3

，則r=8，
則系數的絕對值最大的項為T₉=

C

8 12

•28•x-

2

3

．

點評：本題考查二項式定理及運用，考查二項式的通項公式和運用，考查有理項和系數的絕對值最大的項的求法，考查運算年林，屬于中檔題．