Question

已知函數f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），則下列結論錯誤的是（　　）

• A、函數f（x）一定存在極大值和極小值
• B、若f（x）在（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上是增函數，則x₂-x₁≥

  2 3

  3

• C、函數f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線與f（x）的圖象必有兩個不同公共點
• D、函數f（x）的圖象是中心對稱圖形

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,閱讀型,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：先求出函數的導數，找到單調區間，列出表格，逐一排除，得出答案．

解答： 解：∵f′（x）=3x²+2ax-1．
∴△=4a²+12＞0，
∴f′（x）=0有兩解，不妨設為x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：
①x=x₁時，函數f（x）取到極大值，x=x₂時，函數f（x）取到極小值，故選項A正確，
②函數f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函數，
x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 a2+3

3

≥

2 3

3

，故選項B正確，
③∵f（-

2

3

a-x）+f（x）=

4a3

9

+

2a

3

，f（-

a

3

）=

2a3

9

+

a

3

，
∴f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），∴（-

a

3

，f（-

a

3

））為對稱中心，故選項D正確，
選項A，B，D都正確，利用排除法，選項C錯誤，
即函數f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線與f（x）的圖象可以有一個不同公共點．
故選C．

點評：本題考查函數的單調性，函數的最值問題，導數的應用：求切線和單調區間、極值，是一道綜合題．