Question

已知某種產品的數量x（百件）與其成本y（千元）之間的函數解析式可以近似的用y=ax²+bx+c表示，其中a，b，c為代定常數，今有實際統計數據如下表

產品數量 x（百件）	6	10	20
成本合計 y（千元）	104	160	370

（I）試確定成本y關于產品數量x的函數y=f（x）．
（II）已知每件這種產品的銷售價為200元，求利潤P關于產品數量X的函數P=g（x） （利潤=收入-本）并確定產品數量為多少時，利潤最大？確定盈虧轉折時的產品數量（即產品數量為多少時，能扭虧為盈或由盈變虧）．

Answer 1

分析：（I）根據二次函數的解析式，把產品數量 及其成本合計分別代入解析式，待定系數法求出二次函數的解析式．
（II）利用利潤=收入-成本，建立P=g（x）函數關系式，根據二次函數圖象與性質求解．

解答：解：（I）有表中數據可得

36a+6b+c=104 100a+10b+c=160 400a+20b+c=370

解之得

a= 1 2 b=6 c=50

∴y=f(x)=

1

2

x2+6x+50(x≥0)
（II） p=g(x)=200×

100

1000

x-(

1

2

x2+6x+50)=-

1

2

x2+14x-50(千元)(x≥0)
=

1

2

(x-14)2+48
由二次函數g（x）的圖象知：
當產品數量 x=1400件時，可獲得最大利潤48000元．
當產品數量 x=420 件時，能扭虧為盈．
當產品數量 x=2380件時，則由盈變虧．

點評：本題考查用代定系數法二次函數的解析式，及利用二次函數的性質求最大值．