Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為$\frac{1}{2}$，傾斜角為$\frac{π}{4}$的動直線l與橢圓E交于M，N兩點，則當△FMN的周長的取得最大值8時，直線l的方程為（　　）

• A． x-y-1=0
• B． x-y=0
• C． x-y-$\sqrt{3}$=0
• D． x-y-2=0

Answer 1

分析 首先利用橢圓的定義建立周長的等式，進一步利用三角形的邊長關系建立等式，求出a值，得到橢圓右焦點坐標，則直線方程可求．

解答 解：如圖，
設右焦點為A，一動直線與橢圓交于M、N兩點，
則：△FMN周長l=MN+MF+NF=MN+2a-MA+2a-NA=4a+（MN-MA-NA）．
由于MA+NA≥MN，
∴當M，A，N三點共線時，△FMN的周長取得最大值4a=8，則a=2，
又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，則A（1，0），
∴直線l的方程為y=1×（x-1），即x-y-1=0．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓定義的靈活運用，考查數學轉化思想方法，是中檔題．