Question

5．如圖，將菱形ABCD沿對角線BD折起，使得C點至C′，E點 在線段AC′上，若二面角A-BD-E與二面角E-BD-C′的大小分別為和45°和30°，則$\frac{AE}{EC′}$=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取BD的中點O，連接AO，EO，C′O，可得∠AOE=45°，∠EOC′=30°，∠OC′E=∠OAE，由正弦定理能求出$\frac{AE}{EC′}$的值．

解答 解：取BD的中點O，連接AO，EO，C′O，
∵菱形ABCD沿對角線BD折起，使得C點至C′，E點在線段AC′上，
∴C′O⊥BD，AO⊥BD，OC′=OA，
∴BD⊥平面AOC′，
∴EO⊥BD，
∵二面角A-BD-E與二面角E-BD-C′的大小分別為45°和30°，
∴∠AOE=45°，∠EOC′=30°，
∵OC′=OA，∴∠OC′E=∠OAE，
由正弦定理得$\frac{OE}{sin∠OC′E}$=$\frac{EC′}{sin∠EOC′}$，$\frac{OE}{sin∠OAE}=\frac{AE}{sin∠AOE}$，
∴$\frac{EC′}{sin∠EOC′}=\frac{AE}{sin∠AOE′}$，
∴$\frac{AE}{EC′}=\frac{sin45°}{sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查二面角的平面角及其求法，考查空間想象能力和思維能力，訓練了正弦定理在求解三角形問題中的應用，是中檔題．