Question

10．若定義在R上的函數f（x）滿足f（0）=-1，其導函數f′（x） 滿足f′（x）＞k＞1，則下列結論中一定正確的有①③
①$f（{\frac{1}{k}}）＞0$，②$f（{\frac{1}{k}}）＞\frac{k}{k-1}$，③$f（{\frac{1}{k-1}}）＞\frac{1}{k-1}$，④f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{k}{k-1}$．

Answer 1

分析 根據導數的概念得出 $\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，用x=$\frac{1}{k-1}$代入可判斷出f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，即可判斷答案．

解答 解；∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即 $\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，
x=$\frac{1}{k}$時，f（$\frac{1}{k}$）+1＞$\frac{1}{k}$•k=1＞0，故①正確，②錯誤；
當x=$\frac{1}{k-1}$時，f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$×k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$，
故f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，故③正確，④錯誤；
故選：①③．

點評 本題考查了導數的概念，不等式的化簡運算，屬于中檔題，理解了變量的代換問題．