Question

4．如圖1，已知四邊形ABFD為直角梯形，AB∥DF，∠ADF=$\frac{π}{2}$，BC⊥DF，△AED為等邊三角形，AD=$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$，DC=$\frac{{2\sqrt{7}}}{3}$，如圖2，將△AED，△BCF分別沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，連接EF，DF，設G為AE上任意一點．

（1）證明：DG∥平面BCF；
（2）若GC=$\frac{16}{3}$，求$\frac{EG}{GA}$的值．

Answer 1

分析 （1）推導出CD⊥平面AED，CD⊥平面BCF，從而平面AED∥平面BCF，由此能證明DG∥平面BCF．
（2）取AD的中點O，連接OE，則OE⊥AD，過G作GH⊥OA，垂足為G，設GH=h，由勾股定理求出h=3或h=2，由此能求出$\frac{EG}{GA}$的值．

解答 證明：（1）由題意可知AD⊥DC，因為平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面AED，
同理CD⊥平面BCF，所以平面AED∥平面BCF．
又DG?平面AED，所以DG∥平面BCF．
解：（2）取AD的中點O，連接OE，則OE⊥AD，過G作GH⊥OA，垂足為G，設GH=h．
∵∠EAD=60°，∴$AH=\frac{{\sqrt{3}}}{3}h$．
∵GC²=GH²+HD²+DC²，
∴$\frac{256}{9}={h^2}+{（\frac{{10\sqrt{3}}}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}h）^2}+\frac{28}{9}$，化簡得h²-5h+6=0
∴h=3或h=2．
又∵$OE=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5$，
當h=3時，
在Rt△AOE中，$\frac{AH}{OE}=\frac{AG}{AE}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EG}{GA}=\frac{2}{3}$．
當h=2時，同理可得$\frac{EG}{GA}=\frac{3}{2}$，
綜上所述，$\frac{EG}{GA}$的值為$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查兩線段的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．