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12.如圖,在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=4,AC=BC=3,∠ACB=90°.點D在線段AB上,AD=2DB.
(1)求異面直線BC與PD所成角的余弦值;
(2)求直線BC與平面PAB所成角的余弦值.

分析 以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),P(0,0,4),D(1,2,0).利用向量法求解

解答 證明:如圖,以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz,則C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),P(0,0,4),D(1,2,0).
(1)$\overrightarrow{BC}=(0,\;-3,\;0)$,$\overrightarrow{PD}=(1,\;2,\;-4)$.
設BC與PD所成的角為α,則$cosα=\frac{{|{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{PD}}|}}{{|{\overrightarrow{BC}}||{\overrightarrow{PD}}|}}=\frac{6}{{3\sqrt{21}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{21}$,
∴異面直線BC與PD所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{21}}}{21}$.…(5分)
(2)可得$\overrightarrow{PA}=(3,\;0,\;-4)$,$\overrightarrow{PB}=(0,\;3,\;-4)$.
設平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0,\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$,得$\left\{\begin{array}{l}3x-4z=0\\ 3y-4z=0\end{array}\right.$.可取$\overrightarrow{n}$=(4,4,3),
設直線BC與平面PAB所成角為θ,
則$sinθ=|{\frac{{n•\overrightarrow{BC}}}{{|n|•|\overrightarrow{BC}|}}}|=|{\frac{-12}{{\sqrt{{4^2}+{4^2}+{3^2}}•3}}}|=\frac{{4\sqrt{41}}}{41}$,
∴直線BC與平面PAB所成角的余弦值為$cosθ=\sqrt{1-{{sin}^2}θ}=\frac{{5\sqrt{41}}}{41}$. …(10分)

點評 本題考查了向量法求空間異面直線的夾角、直線與平面所成角,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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