Question

20．如圖，在平行四邊形OABC中，O為坐標原點，過點C（1，3）作CD⊥AB于點D，
（1）求CD所在直線的方程；
（2）當D（4，2）時，求△OCD外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由直線的斜率公式可得K_OC，進而可得CD所在直線的斜率為K_CD，由直線的點斜式方程計算可得答案；
（2）設△OCD外接圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由圓所過點的坐標可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={r}^{2}}\\{（1-a）^{2}+（3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（4-a）^{2}+（2-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，解可得a、b、r²的值，將其代入圓的標準方程即可得答案．

解答 解：（1）根據題意，∵點O（0，0），點C（1，3），
∴OC所在直線的斜率為K_OC=$\frac{3-0}{1-0}$=3．
在平行四邊形OABC中，AB∥OC，
∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直線的斜率為K_CD=-$\frac{1}{3}$，
∴CD所在直線方程為y-3=-$\frac{1}{3}$（x-1），即x+3y-10=0；
（2）設△OCD外接圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
圓過O（0，0）、C（1，3）、D（4，2），
則有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={r}^{2}}\\{（1-a）^{2}+（3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（4-a）^{2}+（2-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
解可得a=2，b=1，r²=5，
故所求圓方程：（x-2）²+（y-1）²=5．

點評 本題考查直線的方程與圓的標準方程求法，注意直線的平行與垂直和直線的斜率的關系．