Question

設函數f（x）=|x-1+a|+|x-a|
（1）若a≥2，x∈R，證明：f（x）≥3；
（2）若f（1）＜2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：不等式的證明,絕對值不等式的解法

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）利用絕對值不等式，即可證明結論；
（2）分類討論，利用f（1）＜2，求a的取值范圍．

解答： （1）證明：f（x）=|x-1+a|+|x-a|≥|（x-1+a）-（x-a）|=|2a-1|
∵a≥2，∴|2a-1|≥3，
∴f（x）≥3；
（2）解：f（1）=|a|+|1-a|
a≤0時，f（1）=|a|+|1-a|=1-2a
∵f（1）＜2，∴1-2a＜2，∴a＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜a≤0；
0＜a≤1時，f（1）=1＜2恒成立；
a＞1時，f（1）=|a|+|1-a|=2a-1
∵f（1）＜2，∴2a-1＜2，∴a＜

3

2

，
∴1＜a＜

3

2

綜上，a的取值范圍是（-

1

2

，

3

2

）．

點評：本題考查絕對值不等式，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．