Question

（2013•紅橋區二模）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，已知∠B=60°，AC=7．AD=6，面積S△ADC=

15 3

2

（1）求sin∠DAC和cos∠DAB的值；
（2）求邊BC，AB的長度．

Answer 1

分析：（1）由S△ADC=

15 3

2

求得 sin∠DAC=

5 3

14

．再由AC平分∠DAB，可得∠DAB=2∠DAC，利用二倍角公式求得 cos∠DAB=1-2sin²∠DAC 的值．
（2）△ABC中，sin∠BAC=sin∠DAB=

5 3

14

，由正弦定理求得BC=5，再由余弦定理求得AB的值．

解答：解：（1）∵S△ADC=

15 3

2

=

1

2

•AD•AC•sin∠DAC=

1

2

×6×7×sin∠DAC，解得 sin∠DAC=

5 3

14

．
再由AC平分∠DAB，可得∠DAB=2∠DAC，∴cos∠DAB=cos2∠DAC=1-2sin²∠DAC=1-

75

98

=

23

98

．
（2）△ABC中，sin∠BAC=sin∠DAB=

5 3

14

，由正弦定理可得

BC

sin∠BAC

=

AC

sibB

，即

BC

5 3 14

=

7

3 2

，解得BC=5．
再由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•sin∠BAC，即 25=AB²+49-14AB•

5 3

14

，
解得 AB=8，或 AB=-3（舍去）．
綜上，AB=8，BC=5．

點評：本題主要考查三角形的面積公式、二倍角公式，正弦定理和余弦定理的應用，屬于中檔題．