Question

有一批大小相同的呈正方體型的物件，按照上面少，下面多的方式，堆放于倉庫的墻角處．從上至下，第一層放1件，第二層放3件，第三層放6件…，各層放置的平面圖形如下：
如果這堆物件一共堆放了10層，則第10層放有________件這樣的物件；這一堆共有________件這樣的物件．

Answer 1

55    220
分析：設各層物件數構成數列{a_n}，由題可知a_n-a _n-1=n（n≥2）且a₁=1．利用累加法求出通項公式a_n=（n²+n），a₁₀=可求．再利用分組求和法求和即可．
解答：設各層物件數構成數列{a_n}，由題可知a_n-a _n-1=n（n≥2）且a₁=1．
所以a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
…
a_n-a _n-1=n （n≥2）
以上各式兩邊分別相加得
a_n-a₁=2+3+…+n
∴a_n=1+2+3+…+n==（n²+n）（n≥2），且a₁=1也適合．
∴a₁₀=55
S₁₀=（1²+2²+…+10²）+
=×+=220．
故答案為：55 220．
點評：本題考查數列求和，用到了累加法求通項，分組、公式法求和．考查建模解模的能力．公式1²+2²+3²+…n²=．