Question

已知tan(α+

π

6

)=2+

3

，α∈(0，

π

2

)．
（I）求tanα的值；
（II）若f(x)=

2

sinxcosx+sinacos2x，求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和的正切公式，將已知展開，解關(guān)于tanα的方程即可．
（II）將f（x）化簡為f（x）=sin（2x+

π

4

），再結(jié)合正弦函數(shù)的周期及單調(diào)遞增區(qū)間求解．

解答：解：（I）根據(jù)兩角和的正切公式得tan(α+

π

6

)=

tanα+tan60°

1-tanα tan60°

=

tanα+ 3 3

1- 3 3 tanα

=2+ 

3

，α∈(0，

π

2

)，
整理并解得tanα=1
（Ⅱ）由（I）得α=45°，f(x)=

2

sinxcosx+sinacos2x=

2

2

sin2x+

2

2

cos2x=sin（2x+

π

4

）
∴T=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z 得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，∴單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）

點評：本題主要了考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的基本性質(zhì)．