Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集為M．
（1）求M；
（2）當(dāng)a，b∈M時，證明：3|a+b|≤|ab+9|．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6，

而|x+2|+|x﹣2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到﹣2、2對應(yīng)點的距離之和，

﹣3和3對應(yīng)點到﹣2、2對應(yīng)點的距離之和正好等于6，

故不等式的解集為M=[﹣3，3]

（2）解：要證3|a+b|≤|ab+9|，只要證9（a+b）2≤（ab+9）2，

即證：9（a+b）2﹣（ab+9）2=9（a2+b2+2ab）﹣（a2b2+18ab+81）=9a2+9b2﹣a2b2﹣81=（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，

而由a，b∈M，可得﹣3≤a≤3，﹣3≤b≤3，

∴（a2﹣9）≤0，（9﹣b2）≥0，∴（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，

故要證的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立

【解析】（1）由條件利用絕對值的意義求出不等式f（x）≤6的解集M．（2）用分析法證明此不等式，分析使此不等式成立的充分條件為（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，而由條件a，b∈M可得（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，從而證得要證的不等式．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號)．