Question

如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②平面MENF的為矩形；
③當M為BB′的中點時，MENF的面積最小；
④四棱錐C′-MENF的體積為常數(shù)；
以上命題中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：結(jié)合直線、平面的垂直和平行的條件進行逐個驗證即可．

解答： 解：對于①：顯然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，
∴EF⊥平面BDD′B′，
∴平面MENF⊥平面BDD′B′；
∴①正確；
對于②：∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，
∴EN∥MF，且EN=MF，
∴四邊形EMFN為平行四邊形，
∴四邊形MENF為平行四邊形，
故②錯誤；
對于③：MENF的面積=EF×MN，
當M為BB′的中點時，MN最短，此時面積最小．
故③正確；
對于④：連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，
它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．
因為三角形C′EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，
所以四棱錐C'-MENF的體積V為常函數(shù)，所以④正確．
綜上，正確的有①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題重點考查了空間中平行和垂直關(guān)系的判斷和性質(zhì)等知識，屬于中檔題．