Question

已知扇形的圓心角為（定值），半徑為（定值），分別按圖一、二作扇形的內接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為，則按圖二作出的矩形面積的最大值為         

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：圖一，設∠MOQ=x，則MQ=rsinx

在△OMN中，MN /sin(2α-x) =r /sin(180°-2α) ，∴MN=rsin(2α-x) /sin2α

∴矩形面積S=r2sin(2α-x) sinx/ sin2α =r2 2sin2α [cos(2x-2α)-cos2α]≤r2 2sin2α [1-cos2α]=1 /2 r2tanα

當且僅當x=α時，取得最大值，故圖一矩形面積的最大值為1 2 r2tanθ，圖二可拆分成兩個，

圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故根據圖1得出的結論，可得矩形面積的最大值為

1/ 2 r2tan(θ/2)而圖二時由兩個這樣的圖形組成，所以兩個則為r2tan(θ/ 2 )．

故答案為：r2tan(θ/2)