Question

如下圖所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點）有n（n＞1，n∈N）個點，每個圖形總的點數記為a_n，則

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=（　　）

• A．

  2009

  2010

• B．

  2010

  2011

• C．

  2009

  2011

• D．

  2011

  2010

Answer 1

分析：根據圖象的規律可求出通項公式a_n=3n-3，故有

9

anan+1

=

1

(n-1)n

，故要求的式子

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

2009×2010

，用裂項法求出它的值．

解答：解：由所給的圖形可得，三角形的每個邊有n個點，把每個邊的點數相加得3n，這樣角上的點數被重復計算了一次，
故第n個圖形的點數為3n-3，即a_n=3n-3，故

9

anan+1

=

9

(3n-3)• [3(n+1)-3]

=

1

(n-1)n

．
∴

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

 …+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故選A．

點評：本題主要考查簡單的和清推理，求等差數列的通項公式，用裂項法對數列進行求和，屬于中檔題．