Question

設f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，a≥-2．
（1）若a=0，求f（x）的單調區間；
（2）討論f（x）在區間（

1

e

，+∞）上的極值點個數．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入函數解析式，求出函數的導函數，在定義域內由導函數大于0的原函數的增區間，由導函數小于0得原函數的減區間；
（2）求出函數的導函數f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，其中e^x＞0恒成立，要分析函數f（x）在區間（

1

e

，+∞）上的極值點個數，引入函數g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，則需要討論函數g（x）的零點情況，通過對函數g（x）兩次求導后分析得到函數g（x）在區間（

1

e

，+∞）上是增函數，則通過討論其最小值的符號可以判斷其零點情況，從而得到函數f（x）在區間（

1

e

，+∞）上的極值點個數情況．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=（xlnx-1）e^x，（x＞0）
故f^′（x）=（lnx+1+xlnx-1）e^x=（x+1）e^xlnx．
當x=1時，f^′（x）=0，當x＞1時，f^′（x）＞0，當x＜1時，f^′（x）＜0．
故f（x）的減區間為（0，1），增區間為（1，+∞）．
（2）由f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，
得：f^′（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，
令g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，則g′(x)=

1

x

+lnx+1+a，g′′(x)=-

1

x2

+

1

x

，
顯然g^′′（1）=0，又當0＜x＜1時，g^′′（x）＜0，當x＞1時g^′′（x）＞0．
所以，g^′（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
故g′(x)min=g′(1)=2+a，∵a≥-2，∴g^′（x）≥g^′（x）_min=2+a≥0．
故g（x）在（0，+∞）上為增函數，則在區間(

1

e

，+∞)上單調遞增，
注意到：當x→+∞時，g（x）→+∞，故g（x）在(

1

e

，+∞)上的零點個數由
g(

1

e

)=(a-1)(a+1+

1

e

)的符號決定．
①當g(

1

e

)≥0，即-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時，g（x）在區間(

1

e

，+∞)上無零點，
即f（x）無極值點．
②當g(

1

e

)＜0，即-1-

1

e

＜a＜1時，g（x）在區間(

1

e

，+∞)上有唯一零點，
即f（x）有唯一極值點．
綜上：當-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時，f（x）在(

1

e

，+∞)上無極值點．
當-1-

1

e

＜a＜1時，f（x）在(

1

e

，+∞)上有唯一極值點．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了導函數的零點與原函數極值點之間的關系，利用兩次求導判斷函數的單調性是該題的難點所在，是有一定難度的題目．