Question

設函數f(x)=-

x2

2

+xln(ex+1)+3的定義域為區間[-a，a]，則函數f（x）的最大值與最小值之和為

6

．

Answer 1

分析：由函數f(x)=-

x2

2

+xln(ex+1)+3，知g（x）=f（x）-3=-

x2

2

+xln(ex+1)，由g(-x)=-

x2

2

-xln(e-x+1)=-

x2

2

-x[ln（e^x+1）-x]=

x2

2

-xln(ex+1)=-g（x），知g（x）=f（x）-3=-

x2

2

+xln(ex+1)是奇函數，故函數f(x)=-

x2

2

+xln(ex+1)+3關于點（0，3）對稱，由此能求出函數f（x）的最大值與最小值之和．

解答：解：∵函數f(x)=-

x2

2

+xln(ex+1)+3，
∴g（x）=f（x）-3=-

x2

2

+xln(ex+1)，
∵g(-x)=-

x2

2

-xln(e-x+1)
=-

x2

2

-x[ln（e^x+1）-x]
=

x2

2

-xln(ex+1)
=-g（x）．
∴g（x）=f（x）-3=-

x2

2

+xln(ex+1)是奇函數，
∴函數f(x)=-

x2

2

+xln(ex+1)+3關于點（0，3）對稱，
∴函數f(x)=-

x2

2

+xln(ex+1)+3在定義域為區間[-a，a]上的最大值與最小值之和為6．
故答案為：6．

點評：本題考查函數f（x）的最大值與最小值之和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，解題的關鍵步驟是證明出函數f(x)=-

x2

2

+xln(ex+1)+3關于點（0，3）對稱．