Question

已知函數f（x）=xln x（x＞0）．
（1）若b≥，求證（e是自然對數的底數）；
（2）設F（x）=f（x）+（a-1）x（x≥1，a∈R），試問函數F（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：由已知有f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，即lnx+1=0，解得x=．當x時，f'（x）≥0，即f（x）在上是增函數；
當x時，f'（x）＜0，即f（x）在上是減函數．（4分）
于是由b≥，有f（b）≥f（），即blnb≥．
整理得
∴．（6分）
（2）F'（x）=f'（x）+（a-1）=lnx+a，令F'（x）=0，即lnx+a=0，
解得x=e^-a．當e^-a≤1，即a≥0時，F（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴F（x）_min=F（1）=a-1；
當e^-a＞1，即a＜0時，F（x）在[1，e^-a]上是減函數，在（e^-a，+∞）上是增函數，
∴F（x）_min=F（e^-a）=e^-alne^-a+（a-1）e^-a=-e^-a．
即F（x）存在最小值，當a≥0時，最小值為a-1，當a＜0時，最小值為-e^-a．（12分）
分析：（1）先對函數求導，研究函數的單調區間，由b≥e結合函數的單調性可得f（b）≥f（e），整理可得
（2）對函數F（x）求導，找出該函數的極值點x=e^-a，討論e^-a與1的大小，確定F（x）在區間[1，+∞）上的單調性，判斷函數F（（x）是否存在最小值
點評：本題考查了導數的應用：利用導數判斷函數的單調性及求單調區間；函數在區間上的最值的求解，其一般步驟是：先求極值，比較函數在區間內所有極值與端點函數．若函數在區間上有唯一的極大（小）值，則該極值就是相應的最大（小）值．