Question

（2010•綿陽二模）已知函數(shù)f（x）=xln x（x＞0）．
（1）若b≥

1

e

，求證bbe≥

1

e

（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
（2）設(shè)F（x）=f（x）+（a-1）x（x≥1，a∈R），試問函數(shù)F（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由b≥e結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（b）≥f（e），整理可得
（2）對函數(shù)F（x）求導(dǎo)，找出該函數(shù)的極值點(diǎn)x=e^-a，討論e^-a與1的大小，確定F（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，判斷函數(shù)F（（x）是否存在最小值

解答：解：由已知有f'（x）=lnx+1，
令f'（x）=0，即lnx+1=0，解得x=

1

e

．當(dāng)x∈[

1

e

，+∞)時，f'（x）≥0，即f（x）在[

1

e

，+∞)上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，即f（x）在(0，

1

e

)上是減函數(shù)．（4分）
于是由b≥

1

e

，有f（b）≥f（

1

e

），即blnb≥

1

e

ln

1

e

．
整理得lnbbe≥ln

1

e

∴bbe≥

1

e

．（6分）
（2）F'（x）=f'（x）+（a-1）=lnx+a，令F'（x）=0，即lnx+a=0，
解得x=e^-a．當(dāng)e^-a≤1，即a≥0時，F(xiàn)（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴F（x）_min=F（1）=a-1；
當(dāng)e^-a＞1，即a＜0時，F(xiàn)（x）在[1，e^-a]上是減函數(shù)，在（e^-a，+∞）上是增函數(shù)，
∴F（x）_min=F（e^-a）=e^-alne^-a+（a-1）e^-a=-e^-a．
即F（x）存在最小值，當(dāng)a≥0時，最小值為a-1，當(dāng)a＜0時，最小值為-e^-a．（12分）

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間；函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解，其一般步驟是：先求極值，比較函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極大（小）值，則該極值就是相應(yīng)的最大（小）值．