Question

函數y=sinxcos²x在區間[0，

π

2

]上的最大值是（　　）

• A、0
• B、

  4

  27

• C、

  2 3

  9

• D、1

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用,三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：令sinx=t可得t∈[0，1]，y=t-t³，利用導數可得函數y在[0，

3

3

]上是增函數；在（

3

3

，1]上是減函數．可得當t=

3

3

時，函數y=t-t³ 取得最大值，計算求得結果．

解答： 解：函數y=sinxcos²x=sinx（1-sin²x）=sinx-sin³x，令sinx=t，
由x∈區間[0，

π

2

]，可得t∈[0，1]，y=t-t³．
∵y′=1-3t²，令y′=0，求得t=

3

3

，在[0，

3

3

]上，y′＞0，函數y是增函數；在（

3

3

，1]上，y′＜0，y是減函數．
故當t=

3

3

時，函數y=t-t³ 取得最大值為

2 3

9

，
故選：C．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，利用導數研究函數的單調性，由單調性求函數的最值，屬于基礎題．