Question

已知平面區域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

被圓C及其內部所覆蓋．
（1）當圓C的面積最小時，求圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與（1）中的圓C交于不同的兩點A、B，且滿足CA⊥CB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由約束條件得出其可行域是直角三角形及其內部，被圓C及其內部所覆蓋，覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，求出即可；
（2）設出直線l的方程，直線l與（1）中的圓C交于不同的兩點A、B，且滿足CA⊥CB，則圓心C到直線l的距離是

2

2

r，利用點到直線的距離公式即可求出．

解答：解：（1）由題意知此平面區域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）構成的三角形及其內部，且△OPQ是直角三角形，
由于覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，∴圓心是Rt△OPQ的斜邊PQ的中點C（2，1），半徑r=|OC|=

22+12

=

5

，
∴圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）設直線l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圓心C到直線l的距離是

2

2

r=

10

2

，
即

|2-1+b|

2

=

10

2

，解之得，b=-1±

5

．
∴直線l的方程是：y=x-1±

5

．

點評：正確由約束條件得出其可行域是直角三角形及其內部，覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，進而即可得出其圓的方程．
熟練掌握直線與圓相交問題的解題模式及點到直線的公式是解題的關鍵．