Question

已知平面區域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

恰好被面積最小的圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其內部所覆蓋，設該圓的圓心為點C．
（1）試求圓C的方程．
（2）若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點A，B，且CA⊥CB，求直線l的方程．
（3）求直線y=k（x-9）與圓C在第一象限部分的公共點的個數．

Answer 1

分析：（1）根據平面區域與最小圓的位置關系得知，確定圓的位置，從而得到圓的方程；
（2）設所求的直線方程一般形式，根據CA⊥CB，得知△ABC為等腰Rt△，即可求點C
到AB的距離，然后用點到直線的距離公式，求出參數，從而求出直線方程．

解答：解：（1）依題意可知，設直線x+2y-4=0分別在x軸、y軸上的交點為M、N，則M（4，0），N（0，2），
最小圓就是以MN為直徑的圓，∴（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）設直線l的方程為：x-y+t=0．則C（2，1）
∵CA⊥CB，∴△ABC為等腰Rt△，即知點C到AB的距離為

5

2

則由點到直線的距離公式得

|2-1+t|

2

=

5

2

，
解得t=±

5

-1，
所以直線方程為x-y+

5

-1=0 或x-y-

5

-1=0．
（3）由已知，k＜0．
若直線與圓相切，則點到直線的距離公式得

|2•k-1-9k|

k2+1

=

5

解得k=-

1

2

．
又由圓與y軸正半軸交點A（0，2），
∴直線過定點B（9，0），kAB=-

2

9

．
所以，k∈[-

2

9

，0)∪{-

1

2

} 時有1個公共點，k∈(-

1

2

，-

2

9

) 時有2個公共點．

點評：此題考查平面區域、點到直線的距離公式及直線和圓的位置關系．