Question

已知平面區域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

恰好被面積最小的圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其內部所覆蓋．
（1）試求圓C的方程．
（2）若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點A，B滿足CA⊥CB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知平面區域表示的是三角形及其內部，且△OPQ是直角三角形，進而可推斷出覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，進而求得圓心和半徑，則圓的方程可得．
（2）設直線l的方程是：y=x+b．根據CA⊥CB，可知圓心C到直線l的距離，進而求得b，則直線方程可得．

解答：解：（1）由題意知此平面區域表示的是以
O（0，0），P（4，0），Q（0，2）構成的三角形及其內部，
且△OPQ是直角三角形，
所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，故圓心是（2，1），半徑是

5

，
所以圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）設直線l的方程是：y=x+b．
因為

CA

⊥

CB

，所以圓心C到直線l的距離是

10

2

，
即

|2-1+b|

12+12

=

10

2

解得：b=-1±

5

．
所以直線l的方程是：y=x-1±

5

．

點評：本題主要考查了直線與圓的方程的應用．考查了數形結合的思想，轉化和化歸的思想．