Question

已知的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線：上，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，；
（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求面積的最大值.

Answer 1

（1）或；（2）.

試題分析：（1）根據(jù)拋物線方程為，寫出焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的定義知，，把代入求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立方程組，整理得，先求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，得出，用弦長(zhǎng)公式表示，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求的面積的最大值.
（1）由題意知，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
由拋物線的定義知，，得到，代入求得或，
所以或，由得或，
（2）設(shè)直線的方程為，，，，
由得，于是，
所以，，
所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)，
由，所以，
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053653949576.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，由，，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053654073981.png" style="vertical-align:middle;" />，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
記，，令解得，，
所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時(shí) ，取得最大值，此時(shí)，
所以的面積的最大值為.