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已知兩個向量a與b，求證：｜a＋b｜＝｜a－b｜的充要條件是a的方向與b的方向垂直．

答案：
解析：

　　證明：①充分性：

　　如圖，設＝a，＝b，使⊥，

　　以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OBCA為矩形，

　　則｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜．

　　∵四邊形OBCA為矩形，∴｜｜＝｜｜．

　　∴｜a＋b｜＝｜a－b｜．

　　②必要性：

　　設＝a，＝b，以OA、OB為鄰邊也作平行四邊形，

　　則｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜．

　　∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴｜｜＝｜｜．

　　∴平行四邊形OBCA為矩形．

　　∴a的方向與b的方向垂直．

　　∴｜a＋b｜＝｜a－b｜的充要條件是a的方向與b的方向垂直．

　　分析：由向量運算的平行四邊形法則知｜a＋b｜、｜a－b｜是以a、b為邊的平行四邊形對角線的長度，可由方向垂直轉化為a與b對應邊的垂直．


提示：

因向量的運算與平面幾何中的平行四邊形、三角形有密切的關系，兩者相互運用．能使向量或平面幾何問題的處理簡單化．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個向量
a
，
b
滿足|
a
|=2，|
b
|=1，
a
，
b
的夾角為60°，
m
=2x
a
+7
b
，
n
=
a
+x
b
，x∈R．
（1）若
m
，
n
的夾角為鈍角，求x的取值范圍；
（2）設函數f（x）=
m
•
n
，求f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值．

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