Question

已知兩個向量a與b。求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是：a的方向與b的方向垂直。

Answer 1

答案：
解析：

［證明］（1）充分性：設，，以OA、OB為鄰邊作矩形OBCA，則，因為四邊形OBCA為矩形，所以，，所以，|a+b|=|a+b| （2）必要性：設，，使以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OBCA，則， 因為|a+b|=|a-b|，所以。 又因為OBCA是平行四邊形，所以OBCA為矩形。所以a的方向與b的方向垂直。