Question

【題目】設函數.

（1）當時，證明： ；

（2）若關于的方程有且只有一個實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 或.

【解析】試題分析：

(1)當時，構造函數，則，則當時， 單調遞減，當時， 單調遞增.故 ，據此可得.

(2)構造函數，令 ，則，分類討論：

①當時， ，此時有一個零點，

②當時， 或，

當時， 有一個零點，

當時， 有一個零點，

當時， 有一個零點，

綜上可知，當方程有且只有一個實根時， 的取值范圍是或.

試題解析：

（1）當時，令，

，

故當時， ，所以單調遞減，

當時， ，所以單調遞增.

故 ，

所以，所以.

（2）令 ，

，

①當時， ， 與在區間上的情況如下：

，此時有一個零點，

②當時， 或，

當時，即時，

與在區間上的情況如下：

所以極小值為，極大值為，

由的圖象可知有一個零點，

當即時，

與在區間上的情況如下：

所以函數的極小值為，極大值為，

由的圖象可知有一個零點，

當，即時，

為單調遞減函數，由的圖象知有一個零點，

綜上可知，當方程有且只有一個實根時， 的取值范圍是或.