Question

【題目】已知為橢圓的右焦點， 為上的任意一點.

（1）求的取值范圍；

（2）是上異于的兩點，若直線與直線的斜率之積為，證明: 兩點的橫坐標之和為常數.

Answer 1

【答案】(1) .(2)證明見解析.

【解析】試題分析：(1)法一:設的坐標為，利用兩點之間的距離公式化簡即可求得范圍；法二：運用三角函數換元設點的坐標為利用兩點之間距離公式計算出范圍（2）法一：設直線斜率分別為，聯立直線方程與曲線方程，利用根與系數之間關系，再由，計算得；法二：設直線的斜率分別為，計算得，由，得，即，證得的中點在上，同理可證的中點在上，即說明兩點的橫坐標之和為常數

解析：解法一：（1）依題意得，所，

所以的右焦點坐標為，

設上的任意一點的坐標為，

則，

所以

，

又因為，所以，

所以，

所以的取值范圍為.

（2）設三點坐標分別為，

設直線斜率分別為，則直線方程為，

由方程組消去，得

，

由根與系數關系可得，

故，

同理可得，

又，

故 ，

則 ，

從而.

即兩點的橫坐標之和為常數.

解法二：（1）依題意得，所，

所以的右焦點坐標為，

設上的任意一點的坐標為，

設上的任意一點的坐標為，

則，

又因為，所以，

所以，

所以的取值范圍為.

（2）設兩點坐標分別為，線段的中點分別為，點的坐標為，直線的斜率分別為，

由方程組得，

所以，

所以，

所以，

又因為，

所以，

所以，

所以的中點在上，

同理可證： 的中點在上，

所以點為線段的中點.

根據橢圓的對稱性，

所以兩點的橫坐標之和為常數.