Question

【題目】已知二次函數滿足以下兩個條件：①不等式的解集是②函數在上的最小值是3.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若點在函數的圖象上，且.

（ⅰ）求證：數列為等比數列

（ⅱ）令，是否存在正實數，使不等式對于一切的恒成立？若存在，指出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）證明過程見解析；（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據不等式的解集可知函數與x軸的交點橫坐標為，0且開口向上，根據對稱軸判斷函數在上的最小值列出等式求解即可；（Ⅱ）（ⅰ）點代入函數并整理得，同時取對數即可得證；（ⅱ）求出的通項公式代入不等式可得對于一切的恒成立，利用二次函數的圖象與性質求出的最大值即可得解.

（Ⅰ）因為不等式的解集是，

所以設，且函數的對稱軸為：，

因為在上單調遞增，所以最小值為，解得，

函數解析式為；

（Ⅱ）（ⅰ）證明：因為點在函數的圖象上，

所以，則，，

因為，所以，

數列是以2為首項，2為公比的等比數列；

（ⅱ），要使不等式對于一切的恒成立，

則對于一切的恒成立，

所以對于一切的恒成立，

令，

令，則，()，，

所以當時， 不等式對于一切的恒成立.