Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的圖像在點處的切線方程；

（2）當時，函數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）。

【解析】試題分析：（1）求出,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）首先根據首先，初步判斷，再證明存在唯一根 ，且函數在上單調遞減，在上單調遞增，函數的最小值為，只需即可，又滿足，代入上式即可證明.

試題解析：（Ⅰ）若，則，

當時， ， ，

當時， ，

所以所求切線方程為

（Ⅱ）由條件可得，首先，得，

而，

令其為， 恒為正數，所以即單調遞增，

而， ，所以存在唯一根 ，

且函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數的最小值為，只需即可，

又滿足，代入上式可得

,

即： 恒成立，所以