【題目】某單位擬建一個扇環面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環面是由以點
為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點
的兩條直線段圍成．按設計要求扇環面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設小圓弧所在圓的半徑為
米，圓心角為
（弧度）．
（1）求
關于
的函數關系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為
，求
關于
的函數關系式，并求出
為何值時， 
取得最大值？
【答案】（1）
（2）
， 
【解析】試題分析：（1）根據已知條件，將周長
米為等量關系可以建立
滿足的關系式，再由此關系式進一步得到函數解析式：
，即可解得
；（2）根據題意及（1）可得花壇的面積為
，裝飾總費用為
，因此可得函數解析式
，而要求
的最大值，即求函數
的最大值，可以考慮采用換元法令
，從而
，再利用基本不等式，即可求得的最大值： 
，當且僅當
， 
時取等號，此時
，
，因此當
時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.
試題解析：（1）扇環的圓心角為
，則，∴， 3分
（2）由（1）可得花壇的面積為
， 6分
裝飾總費用為
， 8分
∴花壇的面積與裝飾總費用的
， 10分
令
，則
，當且僅當
， 
時取等號，此時
，， 12分
答：當
時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大． 13分
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【題目】已知
為橢圓
的右焦點， 
為
上的任意一點.
（1）求
的取值范圍；
（2）
是
上異于
的兩點，若直線
與直線
的斜率之積為
，證明: 
兩點的橫坐標之和為常數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
的左右焦點分別為
，
，左頂點為
，點
在橢圓上，且
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過原點
且與
軸不重合的直線交橢圓于
，
兩點，直線
分別與
軸交于點
，
，.求證：以
為直徑的圓恒過交點，，并求出
面積的取值范圍.
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【題目】如圖，拋物線
的焦點為
，拋物線上一定點
．
（1）求拋物線
的方程及準線
的方程；
（2）過焦點的直線（不經過
點）與拋物線交于
兩點，與準線交于點
，記
的斜率分別為
，問是否存在常數
，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
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【題目】現有
六支足球隊參加單循環比賽（即任意兩支球隊只踢一場比賽），第一周的比賽中
，各踢了
場， 
各踢了
場， 
踢了
場，且
隊與
隊未踢過， 
隊與
隊也未踢過，則在第一周的比賽中， 
隊踢的比賽的場數是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】隨著共享單車的成功運營，更多的共享產品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產品層出不窮.某公司隨即抽取
人對共享產品是否對日常生活有益進行了問卷調查，并對參與調查的
人中的性別以及意見進行了分類，得到的數據如下表所示：
男 | 女 | 總計 | |
認為共享產品對生活有益 |
|
|
|
認為共享產品對生活無益 |
|
|
|
總計 |
|
|
|
（1）根據表中的數據，能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下，認為對共享產品的態度與性別有關系？
（2）現按照分層抽樣從認為共享產品增多對生活無益的人員中隨機抽取
人，再從
人中隨機抽取
人贈送超市購物券作為答謝，求恰有
人是女性的概率.
參與公式： 
臨界值表：
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【題目】某營養學家建議：高中生每天的蛋白質攝入量控制在
（單位：克），脂肪的攝入量控制在
（單位：克），某學校食堂提供的伙食以食物
和食物
為主，1千克食物
含蛋白質60克，含脂肪9克，售價20元；1千克食物
含蛋白質30克，含脂肪27克，售價15元.
（1）如果某學生只吃食物
，判斷他的伙食是否符合營養學家的建議，并說明理由；
（2）為了花費最低且符合營養學家的建議，學生需要每天同時食用食物
和食物
各多少千克？并求出最低需要花費的錢數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，其中
、
為已知實常數，
.
下列所有正確命題的序號是____________．
①若
，則
對任意實數
恒成立；
②若
，則函數
為奇函數；
③若
，則函數為偶函數；
④當
時，若
，則
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩個定點
，
， 動點
滿足
，設動點的軌跡為曲線
，直線
：
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）若
是直線上的動點，過作曲線的兩條切線QM、QN，切點為
、
，探究：直線
是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由.
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