Question

橢圓一短軸頂點與兩焦點的連接組成正三角形，且焦點到對應準線的距離等于3．過以原點為圓心，半焦距為半徑的圓上任意一點P作該圓的切線l，且l與橢圓交于A、B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據短軸頂點與兩焦點的連接組成正三角形可求得b和c的關系，根據點到對應準線的距離等于3可知a和c的關系式，最后聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）令P（x，y），令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），進而可表示l的方程，先看當y=0時，把直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理得到x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而表示出根據x²的范圍求得的范圍；再看y=0，x²=1時，可分別求得A，B的坐標，則的值可求得，最后綜合可得答案．
解答：解：（1）由題意得，
求得a=2，b=，c=1
∴橢圓方程為．

（2）令P（x，y），因圓的方程為x²+y²=1
∴l的方程為：xx+yy=1，令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）
①當y=0時，由得（3+x²）x²-8xx+12x₂-8=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+y₁y₂=-
∵0≤x²＜1
∴-≤＜-
②當y=0，x²=1時，可求得A（-1，），B（-1，-），或A（1，），B（1，-）
此時都有=-
綜上-≤≤-
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．