Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一短軸頂點與兩焦點的連接組成正三角形，且焦點到對應準線的距離等于3．過以原點為圓心，半焦距為半徑的圓上任意一點P作該圓的切線l，且l與橢圓交于A、B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求

OA

•

OB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據短軸頂點與兩焦點的連接組成正三角形可求得b和c的關系，根據點到對應準線的距離等于3可知a和c的關系式，最后聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）令P（x₀，y₀），令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），進而可表示l的方程，先看當y₀=0時，把直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理得到x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而表示出

OA

•

OB

根據x₀²的范圍求得

OA

•

OB

的范圍；再看y₀=0，x₀²=1時，可分別求得A，B的坐標，則

OA

•

OB

的值可求得，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）由題意得

a=2c a2 c -c=3 b2=a2-c2

，
求得a=2，b=

3

，c=1
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（2）令P（x₀，y₀），因圓的方程為x²+y²=1
∴l的方程為：x₀x+y₀y=1，令A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）
①當y₀=0時，由

x2 4 + y2 3 =1 x 0x+y 0y=1

得（3+x₀²）x²-8x₀x+12x₂⁰-8=0
∴x₁+x₂=

8x0

3+ x 2 0

，x₁x₂=

12x 20-8

3+ x 2 0

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

5

3+ x 2 0

∵0≤x₀²＜1
∴-

5

3

≤

OA

•

OB

＜-

5

4

②當y₀=0，x₀²=1時，可求得A（-1，

3

，2

），B（-1，-

3

2

），或A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

）
此時都有

OA

•

OB

=-

5

4

綜上-

5

3

≤

OA

•

OB

≤-

5

4

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．