Question

已知a為實數，。

⑴求導數；

⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；

⑶若在(－∞，－2)和（2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵f(x)在[－2,2]上的最大值為最小值為

⑶a的取值范圍是[－2,2]. 

【解析】

試題分析：⑴由原式得∴

⑵由 得,此時有.

由得或x="-1" , 又

所以f(x)在[－2,2]上的最大值為最小值為

⑶解法一:的圖象為開口向上且過點(0,－4)的拋物線,由條件得

即 ∴－2≤a≤2.

所以a的取值范圍為[－2,2].

解法二:令即 由求根公式得:

所以在和上非負.

由題意可知,當x≤-2或x≥2時, ≥0,

從而x₁≥-2,  x₂≤2,

即 解不等式組得－2≤a≤2.

∴a的取值范圍是[－2,2]. 

考點：導數計算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值。

點評：中檔題，此類問題較為典型，是導數應用的基本問題。在某區間，導函數值非負，函數為增函數，導函數值非正，函數為減函數。求最值應遵循“求導數，求駐點，計算極值及端點函數值，比較確定最值”。