Question

已知a為實數，p：點M（1，1）在圓（x+a）²+（y-a）²=4的內部； q：?x∈R，都有x²+ax+1≥0．
（1）若p為真命題，求a的取值范圍；
（2）若q為假命題，求a的取值范圍；
（3）若“p且q”為假命題，且“p或q”為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：對于命題p為真，要利用點與圓的位置關系；對于命題q為真，要利用一元二次函數圖象的特點，最后利用復合命題真假解決．

解答：解：（1）∵p：點M（1，1）在圓（x+a）²+（y-a）²=4的內部
∴（1+a）²+（1-a）²＜4，解得-1＜a＜1，
故p為真命題時a的取值范圍為（-1，1）．                       
（2）∵q：?x∈R，都有x²+ax+1≥0
∴若q為真命題，則△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2，
故q為假命題時a的取值范圍（-∞，-2）∪（2，+∞）．               
（3）∵“p且q”為假命題，且“p或q”為真命題
∴p與q一真一假，從而
①當p真q假時有

-1＜a＜1 a＜-2或a＞2

，無解；
②當p假q真時有

a≤-1或a≥1 -2≤a≤2

，解得-2≤a≤-1或1≤a≤2．   
∴實數a的取值范圍是[-2，-1]∪[1，2]．

點評：此題考查復合命題真假，此外考查點與圓的位置關系的判別，一元二次函數等問題．