Question

（2009•青浦區二模）已知a為實數，函數f（θ）=sinθ+a+3．
（1）若f（θ）=cosθ（θ∈R），試求a的取值范圍；
（2）若a＞1，g(θ)=

3(a-1)

sinθ+1

，求函數f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知sinθ-cosθ=-3-a，然后根據輔助角公式求出sinθ-cosθ的范圍，從而求出a的范圍；
（2）討論a，當1＜a≤

7

3

時利用基本不等式求出函數的最值，當a＞

7

3

時利用函數的單調性求出最值即可．

解答：解：（1）f（θ）=cosθ即sinθ-cosθ=-3-a，又sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)，（2分）
所以-

2

≤a+3≤

2

，從而a的取值范圍是[-3-

2

，-3+

2

]．      …（5分）
（2）f(θ)+g(θ)=(sinθ+1)+

3(a-1)

sinθ+1

+a+2，令sinθ+1=x，則0＜x≤2，因為a＞1，
所以x+

3(a-1)

x

≥2

3(a-1)

，當且僅當x=

3(a-1)

時，等號成立，（8分）
由

3(a-1)

≤2解得a≤

7

3

，所以當1＜a≤

7

3

時，函數f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2； …（11分）
下面求當a＞

7

3

時，函數f（θ）+g（θ）的最小值．
當a＞

7

3

時，

3(a-1)

＞2，函數h(x)=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上為減函數．
所以函數f（θ）+g（θ）的最小值為2+

3(a-1)

2

+a+2=

5(a+1)

2

．            …（12分）
當a＞

7

3

時，函數h(x)=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上為減函數的證明：任取0＜x₁＜x₂≤2，h(x2)-h(x1)=(x2-x1)[1-

3(a-1)

x2x1

]，因為0＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以1-

3(a-1)

x2x1

＜0，h（x₂）-h（x₁）＜0，由單調性的定義函數h(x)=x+

3(a-1)

x

在（0，2]上為減函數．
于是，當1＜a≤

7

3

時，函數f（θ）+g（θ）的最小值是2

3(a-1)

+a+2；
當a＞

7

3

時，函數f（θ）+g（θ）的最小值

5(a+1)

2

．                               …（15分）

點評：本題主要考查了函數的值域，以及利用基本不等式求最值和利用函數單調性求最值，屬于中檔題．