Question

省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數f（x）與時刻x（時）的關系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈R，其中a是與氣象有關的參數，且a∈]，若取每天f（x）的最大值為當天的綜合放射性污染指數，并記作M（a）．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈R，求t的取值范圍；
（2）省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問：目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？

Answer 1

分析：（1）先取倒數，然后對得到的函數式的分子分母同除以x，再利用導數求出

1

t

的取值范圍，最后根據反比例函數的單調性求出t的范圍即可；
（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+

2

3

．下面分類討論：當 0＜a＜

1

4

，當

1

2

＞a≥

1

4

，分別求出函數g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．

解答：解：（1）當x=0時，t=0；（2分）
當0＜x≤24時，

1

t

=x+

1

x

．對于函數y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴當0＜x＜1時，y′＜0，函數y=x+

1

x

單調遞減，
當1＜x≤24時，y′＞0，函數y=x+

1

x

單調遞增，
∴y∈[2，+∞）．
綜上，t的取值范圍是[0，

1

2

]．
（2）當a∈（0，

1

2

]時，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+

2

3

=

3a-t+ 2 3 ，0≤ t≤a    t+a+ 2 3 ，a≤t≤ 1 2

∵g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，
g（0）-g（

1

2

）=2a-

1

2

．
故M（a）=

g( 1 2 )，0≤a≤ 1 4 g(0) 1 4 ＜ a≤ 1 2

=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 1 4 ＜ a≤ 1 2

當且僅當a≤

4

9

時，M（a）≤2，
故a∈（0，

4

9

]時不超標，a∈（

4

9

，

1

2

]時超標．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用、待定系數法求函數解析式及分類討論的思想，屬于實際應用題．