Question

省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數f（x）與時刻x（時）的關系為f（x）=+2a+，x∈R，其中a是與氣象有關的參數，且a∈]，若取每天f（x）的最大值為當天的綜合放射性污染指數，并記作M（a）．
（1）令t=，x∈R，求t的取值范圍；
（2）省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問：目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？

Answer 1

【答案】分析：（1）先取倒數，然后對得到的函數式的分子分母同除以x，再利用導數求出的取值范圍，最后根據反比例函數的單調性求出t的范圍即可；
（2）f（x）=g（t）=|t-a|+2a+．下面分類討論：當 0＜a＜，當 ＞a≥，分別求出函數g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．
解答：解：（1）當x=0時，t=0；（2分）
當0＜x≤24時，=x+．對于函數y=x+，∵y′=1-，
∴當0＜x＜1時，y′＜0，函數y=x+單調遞減，
當1＜x≤24時，y′＞0，函數y=x+單調遞增，
∴y∈[2，+∞）．
綜上，t的取值范圍是[0，]．
（2）當a∈（0，]時，f（x）=g（t）=|t-a|+2a+=
∵g（0）=3a+，g（）=a+，
g（0）-g（）=2a-．
故M（a）==
當且僅當a≤時，M（a）≤2，
故a∈（0，]時不超標，a∈（，]時超標．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用、待定系數法求函數解析式及分類討論的思想，屬于實際應用題．