Question

某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經測算，如果將樓房建為x（x≥10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？
（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=

購地總費用

建筑總面積

）

Answer 1

分析：先設樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，根據題意寫出綜合費f（x）關于x的函數解析式，再利用導數研究此函數的單調性，進而得出它的最小值即可．

解答：解：方法1：導數法
設樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，
則f(x)=(560+48x)+

2160×10000

2000x

=560+48x+

10800

x

（x≥10，x∈Z⁺）
f′(x)=48-

10800

x2

，
令f'（x）=0得x=15
當x＞15時，f'（x）＞0；當0＜x＜15時，f'（x）＜0
因此當x=15時，f（x）取最小值f（15）=2000；
答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層．
方法2：（本題也可以使用基本不等式求解）
設樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，
則f(x)=(560+48x)+

2160×10000

2000x

=560+48x+

10800

x

≥560+2

48x• 10800 x

=2000，
當且進行48x=

10800

x

，即x=15時取等號．
答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層．

點評：本小題主要考查應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識．